Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Содержание

Основы молекулярной физики и термодинамики: методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики, страница 3
Единицы измерения
Коэффициент диффузии броуновской частицы
Определение и формула коэффициента диффузии
Решение определим среднюю арифметическую скорость молекул гелия при нормальных условиях р = 10 5 па, т = 273 к. (1)
Формулы для коэффициента диффузии

Основы молекулярной физики и термодинамики: методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики, страница 3

Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент
диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.

Дано:

p = 2·10⁵Па

d= 2,9·10^-10 м

М = 32·10^-3кг/моль

Т = 280 К

Решение:

На
основании представлений молекулярно – кинетической теории газов коэффициент
внутреннего трения идеального газа (динамическая вязкость) и коэффициент
диффузии определяются по формулам:

η — ?

D — ?

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (1); (2), где ρ – плотность газа; < λ >
– средняя длина свободного пробега молекул; <υ_ар> – средняя арифметическая скорость молекул.

Из (1) и (2) следует (3)

Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину
свободного пробега молекул находим по формулам:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (4)
, (5)

где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая
постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 ^–10м – эффективный
диаметр молекулы кислорода; n₀ – число
молекул в 1 м³(концентрация).

Из уравнения Менделеева — Клайперона определяем n₀

(см. задачу
3): Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (6)

где р – давление; k = 1,38·10 ^–23Дж/К – постоянная Больцмана.

Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (7)

Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента
диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2):

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (8)

Плотность кислорода определяется по формуле: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . С учетом (6) имеем: . (9)

Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу
для коэффициента внутреннего трения: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К .

Вычисляем: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К .

Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м² и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя
поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее
мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной.
Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).

За время t – электроплита должна выделить такое же количество
теплоты: (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К ,

откуда
Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К ,

Ответ: 0,92
кВт.

2. Основы термодинамики

Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии
поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Дано:

т = 2 кг

Т = 400 К

М = 2·10 ^–3кг/моль

Решение:

Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода –
двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда

<E_пост> — ?

<E_вр> — ?

число степеней свободы молекулы водорода равно
5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К Поступательному
движению приписывается три (i = 3),
а вращательному две (i= 2)
степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , .

Число молекул, содержащихся в массе газа m:
Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , где ν – число молей, N_A – число
Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
водорода будет: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (1) где
R = kN_A – молярная
газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения
молекул водорода: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (2)

Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ:
4986 кДж, 3324 кДж.

Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было
увеличено от Р₁= 100 кПа до Р₂= 1 МПа.
Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до
первоначальной. Определить давление Р₃ газа в конце процесса.

можно определить ν:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя
число Авогадро N_А
(которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле).
Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть
установлено, так как известно число молей ν.

Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем
число молекул, содержащихся в объеме V: .

Плотность газа ρ = m/Vопределяем
из уравнения Менделеева — Клайперона:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим
плотность газа:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Удельный объем газа d определяем
из уравнения Менделеева — Клайперона:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ: 11,9
м³/кг.

Задача 2. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и
молярную массу смеси газов.

М₁ – егомолярная масса; V
– объем сосуда; Т –
температура газа; R= 8,31 Дж/(моль·К)
–молярная газовая постоянная; р₂–парциальное
давление водорода; m₂–
масса водорода; М₂
– его молярная масса.

По закону Дальтона: (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁и
р₂ и подставим в уравнение (3):

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (4)

С другой стороны, уравнение Менделеева — Клайперона
для смеси газов имеет вид:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (5)

Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К ,
(6)

где ν₁ и ν₂ – число молей гелия
и водорода соответственно.

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ: 3·10^-3 кг/моль.

Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега
молекул водорода <λ> = 2,5 см при температуре
68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10
^–10м.

Дано:

<λ>= 2,5·10^{-2 м}

Т= 341 К

d= 2,3·10^-10 м

N_A= 6,02·10²⁶кмоль^-1

Решение:

Давление
водорода при температуре Т можно найти по уравнению Менделеева-
Клайперона, в котором удобно ввести число молекул n₀ в 1 м³.

р – ?

Это проводится следующим образом:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К ; ; ;

где N_A – число
Авогадро и k – постоянная Больцмана.

Следовательно, Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К Так
как , имеем .

Число молекул в 1 м³ выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , находим Таким образом:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ: 0,8
Па.

Задача 4. Определить
плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?

Дано:

< λ >= 10
см = 0,1 м

Решение:

Средняя
длина пробега молекулы определяется формулой:

р — ?

n₀ — ?

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (1)

где
d–
эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 ^–9м).

Концентрацию молекул
найдем из равенства:

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (2) где
N_A – число
Авогадро; М= 28·10 ^–3кг/моль – молярная масса
азота.

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим: Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

Ответ:
1,09·10^-6 кг/м³.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента диффузии в системе СИ является:

В СГС:

Коэффициент диффузии броуновской частицы

Для броуновской частицы, которую можно считать сферической коэффициент диффузии рассчитывают как:

где leftlangle Delta x^2rightrangle $D_{vr}$ ${Delta }^2_{varphi }$

Определение и формула коэффициента диффузии

Процесс диффузии двухкомпонентной системе для одномерного случая ( $frac{drho }{dx}$ $frac{drho }{dx}$ $0,1le Dle 1 (frac{{cm}^2}{c})$ $0,1le Dle 1 (frac{{cm}^2}{c})$ ${10}^5 раз меньше.$

Решение определим среднюю арифметическую скорость молекул гелия при нормальных условиях р = 10 5 па, т = 273 к. (1)

Решение Определим среднюю арифметическую скорость молекул гелия при нормальных условиях — страница №1/1

1.6. Процессы переноса
1.6.1.Средняя длина пробега молекул гелия при нормальных условиях равна

1.6. Процессы переноса
1.6.1.Средняя длина пробега молекул гелия при нормальных условиях равна Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

. Определить коэффициент диффузии гелия D.
Решение

1. Определим среднюю арифметическую скорость молекул гелия при нормальных условиях р = 10⁵ Па, Т = 273 К

. (1)

2. Подставим значение средней арифметической скорости в уравнение для коэффициента диффузии

. (2)

1.6.2. Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К равна D = 1,910⁵ м²/с. Определить при заданных условиях длину свободного пробега молекул.

Решение

1. Определим среднюю арифметическую скорость молекул кислорода при заданной температуре и молярной массе  = 3210³ кг/моль

. (1)

2. Запишем далее уравнение для коэффициента диффузии и решим его относительно средней длины свободного пробега

1.6.3. Определить отношение коэффициентов диффузии в двух состояниях азота N₂: при нормальных условиях и при давлении р =100 Па с температурой Т = 300 К.
Решение

Про кислород: ГОСТ 33752-2017. Баллоны стальные сварные для сжиженных углеводородных газов, используемых в качестве моторного топлива на механических транспортных средствах. Технические условия

1.Для азота, находящегося в нормальных условиях уравнение коэффициента диффузии можно записать следующим образом

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (1)

где n₁ концентрация молекул азота при нормальных условиях,  молярная масса азота, d₀ эффективный диаметр молекулы.

2. Выразим концентрацию n₁ через давление

. (2)

3. Подставим значение концентрации молекул из уравнения (1) в уравнение (2)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (3)

4. Запишем по аналогии с уравнением (3) соотношение для коэффициента диффузии для второго, заданного по условию задачи, состояния

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (4)

5. Найдём отношение D₁/D₂

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (5)

1.6.4. Найти отношение коэффициентов диффузии D₁газообразного кислорода О₂ и газообразного водорода Н₂, находящихся в одинаковых условиях.
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи

, Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , , (1)

где ₁, ₂ молярная масса кислорода и водорода, соответственно, d₁, d₂ эффективные диаметры молекул этих газов.

2. Найдём отношение коэффициентов диффузии

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (2)

1.6.5. Определить зависимость коэффициента диффузии D от температуры Т при изобарном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.

Решение

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

1. Воспользуемся уравнением коэффициента диффузии, в котором концентрация молекул газа выражена через давление, коэффициент Больцмана и температуру, уравнение (3) задачи 1.6.3

, (1)

где С комбинация постоянных величин, входящих в уравнение (1).

2. Построим далее в относительных единицах график зависимости D ..

1.6.6. Определить зависимость коэффициента диффузии D от температуры Т при изохорном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.
Решение

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

1. Постоянство объёма и массы вещества обуславливает низменность концентрации молекул, таким образом, в уравнении коэффициента диффузии

, (1)

переменной величиной является только температура.

2. Коэффициент диффузии пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры

. (2)

1.6.7. Определить зависимость коэффициента диффузии D от температуры Т при изобарном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.
Решение

1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи, выразив концентрацию молекул n через давление р и температуру Т

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

, (1)

. (2)

2. В уравнении (2) переменной величиной является только температура Т, потому его можно представить следующим образом

, (3)

т.е. коэффициент диффузии в изобарном процессе пропорционален корню квадратному из куба температуры.

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К
1.6.8. Получить график зависимости коэффициента диффузии кислорода D от температуры Т в интервале температур 100 ≤ Т ≤ 1000 К при постоянном давлении p = const = 0,1 МПа.
Решение

1. Для получения графической зависимости воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи, определив предварительно численное значение коэффициента С

. (1)

1.6.9. Во сколько раз изменится коэффициент диффузии молекул кислорода, находящихся в закрытом объёме, если количество молекул и температуру увеличить в четыре раза?
Решение

1. Увеличение числа молекул в четыре раза при фиксированном объёме приведёт к пропорциональному увеличению концентрации молекул. Уравнения для коэффициентов диффузии молекул газа в заданных условиях, с учётом уравнения (1) задачи 1.6.6 можно записать следующим образом

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (1)

2. Отношение коэффициентов диффузии, таким образом, определится соотношением

. (2)

1.6.10. Азот N₂, находящийся в закрытом объёме подвергли мгновенному нагреву, увеличив температуру в 100 раз, так что половина молекул распалась на атомы. Во сколько раз, при этом, изменился коэффициент диффузии газа?
Решение

1. Если в первоначальном состоянии количество молекул обозначить через N, то после диссоциации молекул, количество частиц станет равным 1,5 N, другими словами, концентрация частиц увеличится в 1,5 раза.

2. Уравнения коэффициентов диффузии (1) предыдущей задачи можно переписать следующим образом

, , Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (1)

2. Изменение коэффициента диффузии представится следующим образом

. (2)

1.6.11. Определить динамическую вязкость  кислорода О₂, находящегося при температуре Т =273 К и давлении р = 0,1 МПа.
Решение

1. Коэффициент динамической вязкости идеального газа определяется уравнением

, (1)

где  плотность газа,  v  средняя арифметическая скорость, средняя длина свободного пробега молекул.

2. Плотность газа  определим из уравнения Клайперона Менделеева

. (2)

3. Подставим в уравнение (1) значение плотности, средней арифметической скорости и средней длины свободного пробега

. (3)

4. Заменим далее значение концентрации n, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.6.7

. (4)

5. Подставим в уравнение (4) следующие значения параметров кислорода  = 3210³ кг/моль, d₀ = 2,210¹⁰м

. (5)

1.6.12. Определить среднюю длину свободного пробега  молекул азота N₂, находящегося в нормальных условиях, если его динамическая вязкость равна  = 17 мкПас.
Решение

1. Преобразуем уравнение (3) предыдущей задачи к следующему виду

, (1)

откуда

. (2)

2. Подставим в уравнение (2) заданные параметры: Т = 273 К,  = 2810³ кг/моль, р = 10⁵ Па

. (3)

1.6.13. Найти динамическую вязкость гелия при нормальных условиях, если коэффициент диффузии равен D = 110⁴ м²/с.
Решение

1. Запишем уравнения для коэффициентов динамической вязкости и диффузии

. (1)

2. Сравнение уравнений (1) даёт основание записать следующую зависимость для коэффициента динамической вязкости

. (2)

3. Плотность гелия ( = 410³ кг/моль) определим из уравнения Клайперона Менделеева

. (3)

4. Подставим значение плотности из уравнения (3) в уравнение (2)

. (4)

1.6.14. Определить зависимость динамической вязкости  от температуры Т при изобарном процессе. Зависимость представить графически.
Решение

1. Запишем уравнение коэффициента динамической вязкости

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (1)

. (2)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

2. Таким образом, коэффициент динамической вязкости в изобарном процессе пропорционален единице, делённой на корень квадратной из абсолютной температуры. На рисунке в относительных единицах приведена зависимость  = f(T)/

1.6.15.Определить зависимость динамической вязкости  от температуры Т при изохорном процессе. Зависимость представить графически.

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К
Решение

1. При V = сonst концентрация частиц остаётся тоже постоянной, поэтому, давление в уравнении плотности (3) предыдущей задачи целесообразно записать следующим образом

. (1)

2. Запишем уравнение для коэффициента динамической вязкости, подставив туда значения плотности , средней арифметической скорости  v  и средней длины свободного пробега

, (2)

из полученного уравнения (2) видно, что коэффициент динамической вязкости при изохорном процессе пропорционален корню квадратному из температуры, т.е.   .

1.6.16. Установить зависимость коэффициента динамической вязкости  от давления р при изотермическом процессе.
Решение

1. В данном случае целесообразно воспользоваться уравнением (1) задачи 1.6.14

, (1)

выразив концентрацию частиц тоже через давление

. (2)

2. Подставим значение концентрации n из уравнения (2) в уравнение для коэффициента динамической вязкости (1)

. (3)

3. Из уравнения (3) следует, после сокращения на р, что коэффициент динамической вязкости не зависит от давления.

1.6.17

Установить зависимость коэффициента динамической вязкости  от давления р при изохорном процессе .Зависимость изобразить графически.
Решение

1. Запишем уравнение для коэффициента динамической вязкости в форме уравнения (3) предыдущей задачи

. (1)

2. Выразим далее переменную в данном случае величину Т из уравнения Клайперона Менделеева

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

(2)

и подставим это значение в уравнение (1)

. (3)

3. Таким образом . Качественный график зависимости  = f(p) приведён на рисунке.

1.6.18. Определить коэффициент динамической вязкости  и коэффициент диффузии D воздуха, находящегося при нормальном давлении и температуре t = 10 ⁰С. Диаметр молекул воздуха принять равным d₀ 310¹⁰ м.

Решение

1.Определим коэффициент диффузии молекул воздуха

. (1)

2. Определим далее коэффициент динамической вязкости, выразив плотность воздуха из уравнения Клайперона Менделеева

. (2)

1.6.19. Имеются два известных идеальных газа, находящиеся в одинаковых условиях. Определить соотношение их коэффициентов динамической вязкости.
Решение

1. Введём следующие обозначения: молярные массы газов обозначим ₁,₂, эффективные диаметры молекул d₁,d₂. Коэффициенты динамической вязкости газов определяться следующими уравнениями

, , Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (1)

2. Внесём молярные массы под корень и поделим уравнения (1) друг на друга

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (2)

Таким образом, при прочих равных условиях динамическая вязкость газов зависит от их молярных масс и эффективных диаметров молекул.

Про кислород: Нехватка кислорода в крови

1.6.20. Заданы коэффициент динамической вязкости газа  и коэффициент диффузии молекул D. Найти концентрацию молекул n.
Решение

1. Как было показано в задаче 1.6.18, коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии связаны соотношением

. (1)

2. Преобразуем далее уравнение плотности следующим образом

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (2)

3. Подставим в уравнение (2) значение плотности из уравнения (1)

. (3)

1.6.21. Цилиндр радиусом R₁ = 0,1 м и длиной l = 0,3 м на одной оси располагается внутри другого цилиндра радиусом R₂ = 0,105 м. Малый цилиндр неподвижен, большой вращается вокруг геометрической оси с постоянной частотой n = 15 с¹. В пространстве между цилиндрами находится газ с коэффициентом динамической вязкости  = 8,5 мкПа. Определить касательную силу F_ , действующую на поверхность внутреннего цилиндра площадью s = 1 м² и приложенный к нему вращательный момент M(F_).
Решение

1. Касательную силу, обусловленную эффектами вязкости, определим, воспользовавшись уравнением

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (1)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

2. На внутренний неподвижный цилиндр действует пара сил, которые приложены в диаметрально противоположных точках неподвижного цилиндра. Модуль момента пары сил определяется в виде произведения модуля одной из сил на кратчайшее расстояние между линиями действия сил

1.6.21. Два горизонтальных диска радиусами R = 0,2 м расположены друг над другом так, что их оси совпадают. Расстояние между дисками d = 510³ м. Верхний диск неподвижен, а нижний вращается с постоянной угловой скоростью  = 62,8 рад/с. Между дисками находится воздух с коэффициентом динамической вязкости  = 1,7210⁵ Пас. Определить вращающий момент, приложенный к неподвижному диску.
Решение

1. Запишем уравнение касательной силы, возникающей вследствие эффектов внутреннего трения воздуха о поверхности диска

. (1)

2. На неподвижный диск будет действовать пара сил, приложенных в диаметрально противоположных точках обода неподвижного диска

. (2)

1.6.22. В ультраразреженном азоте, находящимся при давлении р = 1 мПа и температуре Т = 300 К, движутся друг относительно друга две параллельные пластины со скоростью u = 1 м/с. Расстояние между пластинами не изменяется и много меньше средней длины свободного пробега молекул. Определить силу внутреннего трения, действующую на пластины, если их площадь s = 1 м².
Решение

1. Запишем уравнение силы внутреннего трения F_

, (1)

в которое входит неизвестный коэффициент динамической вязкости.

2. Определим далее коэффициент динамической вязкости, воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.6.16

. (2)

3. Поскольку расстояние между пластинами на много меньше средней длины свободного пробега молекул ультраразреженного газа, то можно принять, что z  ,

, (3)

где средняя длина свободного пробега молекул газа.

4. Подставим значения z и  в уравнение (1)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К , (4)

после преобразований получим

. (5)

1.6.23. В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиуса r. Концентрация молекул газа n, масса одной молекулы m₀, тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Определить силу сопротивления, действующую на шар.

Решение

1. Действующая со стороны газа на шар сила вызвана эффектами внутреннего трения.

. (1)

2. По условию задачи скорость шара во много раз больше средней арифметической скорости теплового движения молекул. Поэтому в первом приближении можно считать, что шар движется в неподвижной газовой среде, причём при соприкосновении с поверхностью шара молекулы изменяют свою скорость от нуля до v, поэтому v  v, а z  , т.е. длине свободного пробега.

3. Определим коэффициент динамической вязкости разреженного газа

. (2)

3. Подставим значение  в уравнение (1)

, (3)

где s = r² площадь поперечного сечения шара.

4. Окончательное уравнение силы, действующей на шар примет следующий вид

. (4)

1.6.24. В разреженном газе с молярной массой  движется в направлении своей оси диск радиуса r с постоянной скоростью v, которая много меньше средней арифметической скорости теплового движения. Определить силу, действующую на диск со стороны газа, если известны величина давления р и температуры Т.
Решение

1. Определим коэффициент динамической вязкости газа

. (1)

2. Изменение скорости молекул происходит на расстоянии равном средней длине свободного пробега молекул. Так как скорость диска меньше скорости движения молекул, то при попадании молекул на поверхность диска их скорость будет нулевой, другими словами,

. (2)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

1.6.25. В разреженном газе с молярной массой  движется пластина. Оценить, какую силу необходимо прикладывать к пластине в направлении движения, чтобы её скорость v была постоянной. Площадь пластины s, давление разреженного газа р, температура Т.Скорость пластины мала по сравнению со скоростью средней арифметической скоростью теплового движения молекул.
Решение

1. Движение пластины в разреженном газе будет замедленным, потому что вследствие эффектов внутреннего трения часть кинетической энергии будет расходоваться на совершение работы против силы внутреннего трения. Чтобы движение стало равномерным необходимо прикладывать в направлении движения силу, равную по модулю силе внутреннего трения.

2. Силу, обусловленную эффектами вязкости, определим, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, с учётом того, что сила внутреннего трения будет приложена к двум поверхностям пластины, перпендикулярным направлению вектора скорости

. (1)

1.6.26. Дождевая капля радиусам r = 1,5 мм падает вертикально в воздушной среде при температуре воздуха Т = 300 К и нормальном атмосферном давлении. Диаметр молекул воздуха составляет d₀ = 310¹⁰ м. При решении считать, что справедлив закон Стокса. Оценить максимальную скорость капли.
Решение

1. Ускоренное движение дождевой капли происходит под действием двух, противоположно направленных сил: силы тяжести и силы сопротивления, возникающей вследствие вязкости воздуха

. (1)

2. Максимальной скорости капля достигнет в момент, когда сила тяжести станет равной силе сопротивления

, (2)

где  = 10³ кг/м³ плотность воды, g ускорение свободного падения,  коэффициент динамической вязкости воздуха, v_max максимальная скорость дождевой капли.

3. Определим коэффициент динамической вязкости воздуха, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.6.24

(3)

4. Разрешим уравнение (2) относительно максимальной скорости с учётом значения коэффициента динамической вязкости

. (4)

5. Следует отметить, что полученная величина скорости предполагает ламинарное обтекание сферической капли, т.е. без вихреобразования. Ситуация значительно отличается от реальной, по сути, в данной задаче не учитывается зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления капли от скорости, которая будет иметь степенной вид.

1.6.27. В аэродинамической трубе продувается модель крыла самолёта со скоростью потока воздуха

= 200 м/с. Пограничный слой у крыла, где наиболее сильно проявляются эффекты внутреннего трения, составляет z = 0,02 м. Определить величину касательной силы F_ действующую на единичную площадь крыла. Испытания проводятся при температуре Т = 300 К.
Решение

1. В соответствии с законом Ньютона на единицу площади будет приходиться величина касательной силы внутреннего трения

. (1)

2. Значение коэффициента динамической вязкости воздуха определён в предыдущей задаче уравнением (3), будем считать, что скорость внутри пограничного слоя меняется линейно, от нуля на поверхности до скорости обтекания на границе слоя, т.е. v = v,

. (2)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К
1.6.28. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено кислородом при нормальном давлении р₀ и температуре Т = 300 К. Радиусы цилиндров соответственно равны r₁ = 0,1 м и r₂ = 0,105 м. Внешний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью  = 95 рад/с. Какой момент нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он не вращался? Длина цилиндров равна L = 0,4 м. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным d₀ = 310^-10 м.
Решение

1. Молекулы кислорода, адсорбированные на поверхности вращающегося цилиндра, будут иметь скорость поверхности v₂ = r₂. На поверхности внутреннего цилиндра скорость будет нулевой v₁ = 0.

2. Касательная сила, действующая на поверхность цилиндра, обусловлена внутренним трением и определяется законом Ньютона

, (1)

Про кислород: ДАЮ 55АЛЛОВ!!!!!!!!! В ядре атома кислорода содержиться 8 протонов. Всего в ядре 16 частиц. а)… —

где s = 2r₁L площадь боковой поверхности внутреннего неподвижного цилиндра, z = r₂ – r₁= 0,005 м расстояние между поверхностями цилиндров, на котором происходит изменение скорости молекул по линейному закону.

3. Определим далее коэффициент динамической вязкости кислорода при заданных условиях, воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.6.26

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К .(2)

3. Подставим полученные значения величин в исходное уравнение касательной силы (1)

. (3)

4. Момент, действующий на внутренний цилиндр, определится как

. (4)

1.6.29. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиусами r₁ = 5 см и r₂ = 5,2 см заполнено газом. Внешний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью  = 38 рад/с. Для сохранения неподвижности внутреннего цилиндра высотой L =0,2 м к нему приложили касательную силу F_ = 1,410³ Н. Определить, используя эти данные, величину коэффициента динамической вязкости  газа, заполняющего пространство между цилиндрами.
Решение

1. Коэффициент динамической вязкости выразим из закона Ньютона, определяющего силу внутреннего трения, используя уравнение (3) предыдущей задачи

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К (1)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

1.6.30. Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса r₁ и r₂ находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью ₁. Оценить угловую скорость вращения внешнего цилиндра ₂.
Решение

1. Наружный цилиндр раскручивается посредствам вращающего момента, обусловленного силами внутреннего трения, величина которых определяется законом Ньютона.

2. В стационарном состоянии цилиндры будут вращаться с постоянными угловыми скоростями ₁ и ₂, что даёт основание считать, что приложенные к ним касательные силы одинаковы, т.е.

, (1)

где s₁и s₂ площади поверхностей коаксиальных цилиндров.

3. В данном случае: v₁ = v₁ = ₁r₁; ₂ = v₂ = ₂r₂; s₁ = r₁L; s₂ = r₂L. Таким образом, уравнение (1) перепишется следующим образом

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (2)

1.6.31. Вычислить теплопроводность  гелия, находящегося при нормальных условиях.
Решение

1. Запишем уравнение коэффициента теплопроводности в виде

. (1)

2. Примем следующие значения входящих в уравнение (1) величин: d₀ = 210¹⁰ м;  = 410³ кг/моль; Т = 273 К.

3. Упростим уравнение (1) и подставим значения входящих в него величин

. (2)

1.6.32. В приближённой теории явлений переноса взаимосвязь между коэффициентами теплопроводности и динамической вязкости описывается соотношением / = с_V, где с_V удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме. В более строгой теории соотношение представляется в виде / = Кс_V, где К = (9 — 5)/4 постоянный безразмерный коэффициент, определяемый значением показателя адиабаты. Используя табличные данные коэффициента теплопроводности, найти значение К для: 1) аргона Ar, 2) водорода H₂, 3) кислорода O₂, 4) паров воды H₂O.
Решение

1. Примем для сравнения следующие значения коэффициентов теплопроводности для заданных веществ в газообразном состоянии

№	Вещество	Динамическая вязкость , Пас	Теплопроводность , мВт/(мК)
1	Аргон (Ar)	2,1510⁵	16,2
2	Водород (Н₂)	8,6610⁶	24,1
3	Кислород (О₂)	2,4410⁵	24,4
4	Пары воды (Н₂О)	8,3210⁶	15,8

2. Определим значение коэффициента К и показателя адиабаты  = (i 2)/i, где i число степеней свободы молекулы

№	Вещество	Число степеней свободы i	Показатель адиабаты 	Коэффициент К
1	Аргон (Ar)	3	1,67	2,51
2	Водород (Н₂)	5	1,4	1,9
3	Кислород (О₂)	5	1,4	1,9
4	Пары воды (Н₂О)	6	1,33	1,74

3. Вычислим удельные теплоёмкости газов при постоянном давлении, воспользовавшись уравнением

аргона ,

водорода ,

кислорода ,

паров воды .

4. Определим значение безразмерного коэффициента К для заданных веществ, воспользовавшись уравнением / = Кс_V , откуда :

для аргона ,

для водорода ,

для кислорода ,

для паров воды .

1.6.33. Коэффициент динамической вязкости воздуха, находящегося в нормальных условиях равен  = 17,210⁶ Пас. Определить коэффициент теплопроводности воздуха при тех же условиях.

Решение

1. Коэффициенты вязкости  и теплопроводности  связаны соотношением

, (1)

где К = (9 5)/4 = 1,74 постоянный безразмерный коэффициент,  = (i 2)/i = 1,33 показатель адиабаты, i = 6 число степеней свободы молекулы воздуха, с_V = iR/2 = 830 Дж/(кгК)

2. Выразим из уравнения (1) коэффициент теплопроводности и определим его величину

. (2)

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

1.6.34. Найти зависимость теплопроводности  от температуры Т при изобарном процессе. Зависимость изобразить графически.
Решение

1. Запишем уравнение для коэффициента теплопроводности 

, (1)

. (2)

2. Коэффициент теплопроводности, таким образом, прямо пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры, на рисунке приведена качественная зависимость.

1.6.35.Найти зависимость теплопроводности  от температуры Т при изохорном процессе. Зависимость изобразить графически.
Решение

1. При изохорном процессе, V = const концентрация молекул газа предполагается постоянной, поэтому уравнение коэффициента теплопроводности целесообразно следующим образом

. (1)

2. При изохорном процессе коэффициент, так же как и в предыдущей задаче прямо пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры. Качественная зависимость  = f(T) будет иметь такой же вид, как и в предыдущей задаче.

1.6.36

Найти зависимость теплопроводности  от давления р при изотермическом процессе.
Решение

1. Для анализа зависимости  = f(p) воспользуемся зависимостью (1) задачи 1.6.34

. (1)

Как видно из приведенного уравнения, коэффициент теплопроводности при постоянстве температуры не зависит от давления.

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К
1.6.37. Найти зависимость теплопроводности  от давления р при изохорном процессе. Зависимость изобразить графически.
Решение

1. При постоянном объёме концентрация молекул газа n и его плотность  постоянны, уравнение коэффициента теплопроводности в этом случае можно представить следующим образом

, (1)

преобразуем в последнем уравнении комбинацию величин RT посредствам уравнения Клайперона Менделеева

, (2)

где  плотность газа.

2. Подставим значение RT в уравнение (1)

, (3)

т.е. коэффициент теплопроводности при постоянном объёме пропорционален корню квадратному из величины давления .

1.6.38. Построить график зависимости коэффициента теплопроводности водорода  от температуры в интервале температур 100 ≤ Т ≤ 600 К.
Решение

1. Запишем уравнение коэффициента теплопроводности в следующем виде

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К

, (1)

. (2)

2. Подставим табличные значения величин в уравнение (2):  = 210³кг/моль, d₀ = 2,810¹⁰ м, с_V = iR/(2) = 10375 Дж/кгК

. (3)

3. Составим таблицу расчетных значений коэффициента теплопроводности водорода Н₂ и построим график зависимости  = f(T).

Т, К	100	300	500	700	900	1000
, Вт/мК	0,028	0,048	0,06	0,074	0,084	0,088

1.6.39. Углекислый газ СО₂ и азот N₂ находятся в одинаковых условиях. Определить отношение коэффициентов диффузии, коэффициентов динамической вязкости и коэффициентов теплопроводности, считая эффективные диаметры молекул одинаковыми.
Решение

1. Запишем уравнение для определения коэффициента диффузии

, (2)

как видно, при прочих равных условиях, отношение коэффициентов диффузии углекислого газа и азота будет определяться молярными массами

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (3)

2. Проанализируем далее уравнение коэффициента динамической вязкости (см. задачу 1.6.28)

, (4)

отношение коэффициентов динамической вязкости так же определяется молярными массами

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (5)

3. уравнение коэффициента теплопроводности можно представить следующим образом

, (6)

откуда очевидно, что

Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К . (7)

1.6.40 Расстояние между внутренними зеркальными стенками термоса составляет h = 5 мм. До какой величины нужно довести давление во внутренней полости, чтобы теплопроводность воздуха начала уменьшаться?. Температура окружающей среды составляет 300 К, эффективный диаметр молекул воздуха принять равным d₀ = 310¹⁰м.
Решение

1. Термос представляет собой сосуд, теплоизолированный от внешней среды. Величина теплового потока через поверхность определяется законом Фурье

, (1)

где градиент температуры, s площадь, расположенная перпендикулярно направлению теплового потока,  коэффициент теплопроводности прилегающей к стенке среды.

2. При прочих равных условиях величина теплового потока определяется коэффициентом теплопроводности и начнёт уменьшаться в том случае, когда средняя длина свободного пробега молекул станет равной расстоянию между стенками термоса, т.е. h 

. (2)