Внутренняя энергия идеального газа, теория и примеры

Содержание

Что такое идеальный газ
Все тесты
Геометрический смысл работы в термодинамике
Кинетическая энергия и температура
Примеры решения задач
Работа идеального газа
Решение практической задачи
Теоретическая формулировка

Что такое идеальный газ

Газ – это агрегатное состояние вещества, для которого характерна большая подвижность его частиц (большие длины пробега) и очень слабая связь между молекулами и атомами. В газообразном состоянии вещество не имеет определенной формы и объема. Любое вещество может быть переведено в газообразное состояние с помощью подбора необходимых параметров давления и температуры.

Идеальным называется газ, имеющий следующий набор свойств:

Молекулы имеют пренебрежимо малые размеры;
Молекулы не взаимодействуют между собой (отсутствуют силы притяжения и отталкивания);
Расстояния между молекулами много больше размеров молекул;
Молекулы отталкиваются только при соударениях друг с другом и со стенками сосуда, где они находятся. Соударения описываются формулами из раздела механики для соударения шаров;
Движение молекул происходит по законам Ньютона;
Газ оказывает давление на стенки сосуда за счет ударов молекул газа.

Внутренняя энергия идеального газа, теория и примеры — Рис. 1. Модель давления идеального газа.

Все тесты

Тест на темуАнализ стихотворения «Не с теми я, кто бросил землю» А. Ахматовой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Перемена» Б. Пастернака5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Стихи о Петербурге» А. Ахматовой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Стихи к Блоку» М. Цветаевой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Клеветникам России» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Завещание» Н. Заболоцкого5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Стихи о Москве» М. Цветаевой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Молитва» М. Цветаевой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «И. И. Пущину!» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «День и ночь» Ф. Тютчева5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Весна в лесу» Б. Пастернака5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Журавли» Р. Гамзатова5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Люблю» В. Маяковского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Когда на меня навалилась беда» К. Кулиева5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Гамлет» Б. Пастернака5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Русь» А. Блока5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Ночь» В. Маяковского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения К. Симонова «Ты помнишь, Алёша, дороги Смоленщины…»5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения Жуковского «Приход весны»5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения Анны Ахматовой «Сероглазый король»5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Июль – макушка лета…»5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Мелколесье. Степь и дали…» С. Есенина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Не позволяй душе лениться» Н. Заболоцкого5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «На дне моей жизни» А. Твардовского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Нивы сжаты, рощи голы…» С. Есенина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Бабушкины сказки» С. Есенина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Снежок» Н. Некрасова1 вопрос
Тест на темуАнализ стихотворения «По вечерам» Н. Рубцова5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Вчерашний день, часу в шестом…» Н. Некрасова5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Цветы последние милей…» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Я знаю, никакой моей вины…» А. Твардовского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Я не ищу гармонии в природе»Н. Заболоцкого5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Разбуди меня завтра рано» С. Есенина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Снега потемнеют синие» А. Твардовского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Осень» Н. Карамзина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Молитва» А. Ахматовой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Вечер» А. Фета5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Не жалею, не зову, не плачу» С. Есенина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Тучи» М. Лермонтова5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Книга» Г. Тукая5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Необычайное приключение, бывшее с Владимиром Маяковским летом на даче» В. Маяковского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Деревня» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Летний вечер» А. Блока5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Я убит подо Ржевом» А. Твардовского5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Элегия» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Зимнее утро» А. Пушкина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Троица» И. Бунина5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Бабушке» М. Цветаевой5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «О весна без конца и краю» А. Блока5 вопросов
Тест на темуАнализ стихотворения «Море» В. Жуковского5 вопросов

Про кислород: Какие газы используют при сварке

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A2 к A1 в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Задание EF17758

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T₁=600 K и давлении p₁=4⋅10⁵ Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p₂=10⁵ Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A=2493 Дж?

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать уравнение состояния идеального газа.

3.Записать формулу для расчета внутренней энергии газа.

4.Используя первое начало термодинамики, выполнить общее решение задачи.

5.Подставив известные данные, вычислить неизвестную величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная температура газа: T₁ = 600 К.

• Начальное давление: p₁ = 4∙10⁵Па.

• Конечное давление: p₂ = 10⁵Па.

• Работа, совершенная газом: A= 2493 Дж.

Аргон является одноатомным газом. Поэтому для него можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$p V = ν R T$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа пропорциональна температуре:

$U = \frac{3}{2} ν R T$

Внутренняя энергия аргона до расширения и после него:

$U_{1} = \frac{3}{2} ν R T_{1}$

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{2}$

Согласно условию задачи, температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Следовательно:

$T = \frac{c o n s t}{V}$

$T_{1} V_{1} = T_{2} V_{2}$

Выразим конечную температуру:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}}$

Составим уравнение состояния газа для состояний аргона 1 и 2:

$p_{1} V_{1} = ν R T_{1}$

$p_{2} V_{2} = ν R T_{2}$

Отсюда:

$ν R = \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$

Отсюда отношение объема аргона в состоянии 1 к объему газа в состоянии 2 равно:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} T_{1}}{p_{1} T_{2}}$

Подставим это отношение в формулу для конечной температуры:

$T_{2} = \frac{T_{1} V_{1}}{V_{2}} = \frac{p_{2} {T_{1}}_{1}^{2}}{p_{1} T_{2}}$

Отсюда:

$T_{2} = T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Отсюда внутренняя энергия газа в состоянии 2 равна:

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}$

Уменьшение внутренней энергии аргона составило (изначально она была выше):

$Δ U = U_{1} - U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{1} - \frac{3}{2} ν R T_{1} \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}} = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}})$

В соответствии с первым началом термодинамики уменьшение внутренней энергии равно сумме совершённой работы и количества теплоты, отданного газом:

$Δ U = Q A$

Следовательно, газ отдал следующее количество теплоты:

$Q = Δ U - A = \frac{3}{2} ν R T_{1} (1 - \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}) - A$

Про кислород: Не показывает пульсометр сатурацию почему

Внутренняя энергия идеального газа, теория и примеры

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17966

Внутренняя энергия идеального газа, теория и примеры Идеальный газ переводят из состояния 1 в состояние 3 так, как показано на графике зависимости давления газа от объёма. Работа, совершённая при этом газом, равна

Ответ:

а) р₀V₀

б) 2р₀V₀

в) 4р₀V₀

г) 6р₀V₀

Алгоритм решения

1.Определить, на каком участке графика совершается работа.

2.Записать геометрический смысл работы.

3.Извлекая данные из графика, вычислить работу, совершенную газом.

Решение

Работа совершается только тогда, когда газ меняет объем. Поэтому работа совершается только на участке 1–2.

Работа идеального газа равна площади фигуры, заключенной под графиком термодинамического процесса в координатах (p, V).

Давление газа при этом равно 2p₀, а объем равен разности 2V₀и V₀. Следовательно, работа, совершенная газом, будет равна произведению:

$A = 2 p_{0} (2 V_{0} - V_{0}) = 2 p_{0} V_{0}$

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Кинетическая энергия и температура

Эксперименты показывали, что чем горячее вещество, тем с большими скоростями (“энергичнее”) двигаются частицы вещества. Изобретение термометра и введение величины температуры T, позволило ученым не только наблюдать за тепловыми явлениями, связанными с изменением температуры (нагревом и охлаждением), но и проводить измерения, накапливать результаты экспериментов в таблицах, анализируя полученные данные для разных веществ.

Ранее было получено уравнение состояния идеального газа — соотношение между давлением p, объемом V и абсолютной температурой (по шкале Кельвина) T, названное в честь его авторов уравнением Клапейрона-Менделеева:

$ p * V = {mover μ} * R * T $ (4),

где:

μ — молярная масса газа, R = 8,3157 джоуль/моль/градус — универсальная газовая постоянная.

Газовая постоянная R равна:

$ R = k * N_a $ (5),

где: k =1,38*10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, Na — число Авогадро.

Тогда, из уравнений (4) и (5) получим выражение для давления идеального газа в виде:

$ p = n * k * T $ (6),

где: $ n = {mover μ} * {Naover V_об } $ — концентрация молекул, Vоб — объем.

В 1860 г. немецкий физик Рудольф Клаузиус получил для давления p одноатомного идеального газа следующую формулу, которую называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории:

$ p = {1over 3} * n * m * v^2_c $ (7),

где: v2c = <v2>ср — среднее арифметическое квадратов скоростей молекул.

$ p = {1over 3} * n * m * v^2_c = n * k * T $ (7).

Разделив части уравнения (7) на n, и умножив обе части на 3/2, получим:

$ {m * v^2_сover 2} = {3 over 2} * k * T $ (8).

Левая часть уравнения (8) представляет собой величину средней кинетической энергии хаотического движения молекул (формула (3)). Таким образом:

$ Е_к = {3 over 2} * k * T $ (9).

Последняя формула (9) демонстрирует, что средняя кинетической энергия хаотического движения молекул идеального газа, а значит и его внутренняя энергия, пропорциональна его температуре T.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислите, на какую величину изменится внутренняя энергия гелия имеющего массу 0,1 кг, если его температура увеличилась на 20С.

Решение. При решении задачи считаем гелий одноатомным идеальным газом, тогда для расчетов можно применить формулу:

$$d U=frac{i}{2} nu R d T(1.1)$$

Так как мы имеем с одноатомным газом, то $i=3 ; nu=frac{m}{mu}$, молярную массу
($mu$) возьмем из таблицы Менделеева
($mu_{H e}=4 cdot 10^{-3}$ кг/моль). Масса газа в представленном процессе
не изменяется, следовательно, изменение внутренней энергии равно:

$$Delta U=int_{T_{1}}^{T_{2}} d U=frac{i}{2} frac{m}{mu} R int_{T_{1}}^{T_{2}} d T=frac{i}{2} frac{m}{mu} Rleft(T_{2}-T_{1}right)$$

где $T_{2}-T_{1}=Delta T=Delta t$

Все величины необходимые для вычислений имеются:

$Delta U=frac{3}{2} cdot frac{0,1}{4 cdot 10^{-3}} cdot 20 cdot 8,31=6,2 cdot 10^{3}$ (Дж)

Ответ. $Delta U=6,2 cdot 10^{3}$ (Дж)

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscos.α

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Про кислород: Такой многоцветный полоний... | Пикабу

Работа идеального газа

$F = p S$

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченнойработы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mM..νRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Решение практической задачи

Задача.

Термоизолированный баллон, заполненный водородом, чья молярная масса равна 2,00 г/моль, движется со скоростью 250 м/с. Как изменится газовая температура при мгновенной остановке сосуда, теплоёмкостью которого можно пренебречь?

Решение.

Полная энергия газового тела W складывается из энергии водорода U и кинетической энергии движущегося тела E, или W = U E. При движении сосуда:

W₁ = U₁ E₁ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₁] [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] [mv²/2],

где i = 5, так как молекула водорода состоит из двух атомов;

ν — является частным от деления массы газа m на молярную массу водорода M;

R — универсальная газовая постоянная;

T₁ — начальная температура газа;

v — скорость движения.

После остановки сосуда, когда E₂ = 0, полная энергия равна:

W₂ = U₂ E₂ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₂] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂], где T₂ — конечная температура газа.

Поскольку в термоизолированном баллоне не происходит теплообмена между окружающей средой и газом, то можно записать:

W₁ = W₂, или [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂].

Из полученного уравнения можно найти разность температур:

∆T = (v² ∙ M)/(5 ∙ R), или [(250)²∙ 2,0 ∙ 10ˉ³]/[5 ∙ 8,31] = 3 K.

Ответ. При мгновенной остановке баллона с водородом температура газа повысится на 3 градуса по шкале Кельвина.

Законы термодинамики изучаются в старших классах общеобразовательной школы. Понимание смысла теории идеального газа поможет на выпускном экзамене, а умение решать задачи облегчит применение знаний на практике.

Теоретическая формулировка

Элементарные частицы тела, обладая кинетической энергией, находятся в постоянном хаотическом движении. А также молекулы и атомы взаимодействуют между собой посредством электрических сил отталкивания и притяжения, что свидетельствует о наличии потенциальной энергии.

Компоненты внутренней энергии объекта, не подверженному внешнему воздействию:

кинетическое движение частиц;
потенциальное межмолекулярное взаимодействие;
электронные силы;
внутриядерная энергия.

При теоретическом изучении процессов термодинамики используется понятие «идеальный газ». Упрощённая модель газообразного тела, в отличие от реального газа, предполагает отсутствие гравитационного и электромагнитного взаимодействия между атомами вещества, а также не берётся во внимание энергия ядра.

Теория термодинамики предлагает следующую формулировку: «В идеальном газе внутренняя энергия определяется суммарной кинетической энергией теплового движения составляющих его молекул». В Международной системе единиц СИ за единицу измерения энергии принят Джоуль.

В термодинамике главным свойством энергии является функция состояния системы в конкретный момент времени. Поэтому изменение энергии зависит от первоначальных и конечных параметров газового тела и происходит при совершении механической работы или путём теплопередачи.

Теплопередачей считается переход внутренней энергии без механического воздействия на газовую среду. Иногда этот процесс называют теплообменом. Существуют следующие разновидности явления:

Теплопроводность.
Конвекция.
Тепловое излучение.